電圧変動率は『内部インピーダンスのせい』で9割解決 — ε=%R cosθ+%X sinθ を3ステップで攻略

この記事で身につくこと

「電圧変動率」という言葉を初めて見たとき、多くの方がこう思います。

変動率？　何が、どれくらい変動するんだ……。

そして参考書を開くと、いきなり ε ≒ %R cosθ ＋ %X sinθ という式が出てきて、「%Rって何だ」「なぜ cos と sin が混ざるんだ」と、そこで手が止まってしまう。実はこれ、順番が逆なんです。

電圧変動率という言葉が言っているのは、たったこれだけです。

無負荷のときの電圧と、負荷をつないだときの電圧、どれくらい差があるの？

家庭でも、ドライヤーとレンジを同時に使うと照明が一瞬暗くなることがありますよね。あれと同じで、変圧器も電気を取り出すと出口の電圧が少し下がります。その「下がりっぷり」をパーセントで表したのが電圧変動率です。

この記事では次の順で組み立てます。

ステップ	内容	ゴール
1	定義式 ε＝(V20−V2n)/V2n×100 の意味	分母をどちらにするか迷わなくなる
2	電圧が下がる犯人＝内部の r と x	%Rと%Xの正体がわかる
3	ベクトル図と近似式のつながり	なぜ cos と sin に分かれるか納得できる
4	銅損から%Rを出す実戦テクニック	過去問がそのまま解ける
5	力率・負荷率で変わる電圧変動率	ひねった問題にも対応できる

暗記量はほとんどありません。式は2本だけです。

暗記フレーズ：電圧変動率は「無負荷と全負荷の差」÷定格

まず、この記事全体を貫くフレーズを置いておきます。

電圧変動率は「無負荷と全負荷の差」÷定格 ／ 近似式は %R×cosθ ＋ %X×sinθ

前半が定義式、後半が近似式です。試験で問われるのはこの2つのどちらかだけで、3つ目はありません。ここが分かれば、この単元は「解ける単元」に変わります。

つまずくポイントもすでに分かっています。分母をどちらにするか、%Rと%Xをどちらの三角関数と組ませるか、三相のときに√3で割るかどうか。この3つだけです。逆に言えば、この3つさえ押さえれば失点しません。

ステップ1：定義式は「差が定格の何％か」を言い換えただけ

定義式はこれです。

$$\epsilon =\frac{V_{20}-V_{2n}}{V_{2n}}\times 100[\%]$$

記号の意味を表にします。

記号	読み方	中身
V20	ブイ・にぃ・ゼロ	無負荷のときの二次電圧（何も繋いでいない）
V2n	ブイ・にぃ・エヌ	定格負荷をかけたときの二次電圧＝定格二次電圧

分子の V20 − V2n は「無負荷から定格負荷にしたら、電圧がこれだけ下がった」という下がり幅そのものです。それを V2n で割って、100倍してパーセントにする。それだけです。

分母は「本来こうあってほしい電圧」

迷いやすいのは分母です。分母は必ず定格二次電圧 V2n。

これは「基準はどちらか」という話です。変圧器は「105 V 出します」と名乗って売られているわけではなく、「100 V 出します」と名乗って売られています。その名乗った値＝定格が基準になるので、割るのは V2n の側です。無負荷電圧の方はあくまで「負荷をかける前のオマケの高い値」であって、基準ではありません。

ステップ2：電圧が下がる犯人は内部の r と x

では、なぜ負荷をつなぐと電圧が下がるのか。犯人は変圧器の内部にいます。

犯人	正体	何が起きるか
r（巻線抵抗）	銅線そのものの抵抗	電流が流れると rI の電圧を食う
x（漏れリアクタンス）	鉄心の外に漏れる磁束の影響	電流が流れると xI の電圧を食う

どちらも電流が流れて初めて働くのがポイントです。だから無負荷（電流ゼロ）のときは電圧が下がらず、負荷をかけた途端に下がる。ここが電圧変動率の正体です。

そして、この rI と xI が定格電圧の何％を食っているかを表したのが %R と %X です。

$$\%R=\frac{rI}{V}\times 100,\%X=\frac{xI}{V}\times 100$$

「パーセントインピーダンス」という言葉に苦手意識のある方も多いのですが、要は「定格電圧のうち何％を内部で食われるか」という食われ率だと思ってください。それ以上の意味はありません。

なお、この rI・xI という考え方は変圧器全体に共通する土台です。損失の話が怪しい方は、先に変圧器の効率は「鉄損は一定、銅損はI²」だけで全部解けるを読んでおくと、この後の「銅損から%Rを出す」パートがぐっと楽になります。

ステップ3：なぜ cos と sin に分かれるのか

ここが近似式の心臓部です。rI と xI は、単純に足し算できません。向きが90度ずれているからです。

• rI … 電流と同じ向き（同相）
• xI … 電流より90度進んだ向き

方眼紙の上で、rI が横向き、xI が縦向きの矢印だと思ってください。この2本を足すには、直角三角形として合成するしかありません。

力率が「振り分け係数」になる

さらに、負荷の力率によって電流の向き自体が傾きます。その傾き角がθです。結果として、電圧降下のうち電圧の向きに効いてくる成分は、

• rI のうち効く分 → cosθ を掛けた分
• xI のうち効く分 → sinθ を掛けた分

となり、これを足したものが電圧変動率になります。

$$\epsilon \fallingdotseq \%R\cos \theta +\%X\sin \theta [\%]$$

cos は R とペア、sin は X とペア。この組み合わせだけ間違えなければ大丈夫です。覚え方としては「抵抗は正直者（電流と同じ向き＝cos側）」と紐づけておくと混ざりません。

ステップ4：銅損から%Rを出す — ここが実戦の急所

試験でいちばん多いのは、%R が直接与えられず、「定格容量」と「銅損」から自分で作るパターンです。

$$\%R=\frac{P_c}{S_n}\times 100[\%]$$

Pc＝定格負荷時の銅損、Sn＝定格容量です。

なぜ損失÷容量でパーセント抵抗降下になるのか

%R の定義は rI/V×100 でした。分子・分母の両方に電流 I を掛けても値は変わりませんから、

$$\%R=\frac{rI}{V}\times 100=\frac{r{I}^2}{VI}\times 100=\frac{\text{銅損}}{\text{定格容量}}\times 100$$

上が rI² ＝ 銅損、下が VI ＝ 容量。つまり「電圧の比」を「電力の比」に置き換えただけで、まったく同じものを見ています。だから kW と kVA の数字をそのまま割ってよいわけです。

与えられ方	やること
%R が数値で与えられる	そのまま代入
銅損［kW］と定格容量［kVA］	銅損 ÷ 容量 × 100 で%Rを作る
r［Ω］と定格電流・定格電圧	rI/V×100 で%Rを作る

ステップ5：力率と負荷率で電圧変動率はどう動くか

近似式ができれば、あとは「何を動かすとεがどうなるか」を押さえるだけです。

条件	εの式	結果
力率1（cosθ＝1、sinθ＝0）	ε ≒ %R	%Xは効かない。εは最小に近い
遅れ力率（cosθ＜1）	ε ≒ %Rcosθ＋%Xsinθ	sinθ が効いてεは大きくなる
進み力率	sinθ が負扱い	εが小さくなり、負になることもある
負荷率 α（例：50％）	ε ≒ α(%Rcosθ＋%Xsinθ)	電流に比例して縮む

進み力率で ε がマイナスになり得るのは驚かれるところですが、これは「負荷をつないだら電圧が上がった」という状態を意味します。実務でも長距離のケーブル線路などで起こる現象です。

なお、この「電圧が下がる／上がる」の感覚は、巻線が動かない変圧器だからこそ素直に効いてきます。変圧器と誘導機の関係があいまいな方は、変圧器と誘導機の違いを「巻線が動くか動かないか」で一発理解を先に押さえておくと、この後の科目全体が整理されます。

まとめ

項目	結論
定義式	ε＝(V20−V2n)/V2n×100（分母は定格）
近似式	ε≒%Rcosθ＋%Xsinθ
%Rの作り方	銅損÷定格容量×100
良い変圧器	εが小さい方が良い（電圧が安定している）
力率が悪いと	εは大きくなる

最後の「εが小さい方が良い」は、言葉の印象で逆に覚えてしまう人がいます。変動率が大きい＝電圧がふらつく、ということですから、小さい方が優秀です。ここは理屈で押さえておけば間違えません。

似た構造の単元として、単巻変圧器は「差分だけ」で攻略 — 自己容量と負荷容量の罠を一発回避も「差だけを見る」という点で発想が共通しています。あわせて読むと変圧器分野の見通しが一気に良くなります。

⚠ ここを間違える人が多い

この単元の失点は、計算力ではなく思い込みで起きます。実際に多いのは次の3つです。

❌ 三相だから√3で割らないと…… → ✅ そのまま割る

いちばん多いのがこれです。定格容量が kVA、銅損が kW で与えられているとき、%R は「銅損 ÷ 定格容量 × 100」でおしまいです。ところが「三相変圧器」と書いてあるだけで反射的に √3 で割ってしまい、答えが約 0.58 倍にずれる。

理由はシンプルで、銅損も定格容量も、どちらも三相ぶんを合計した値だからです。同じ土俵の値どうしの比なので、√3 の出番はありません。√3 が必要になるのは「相の値と線間の値を行き来するとき」だけです。

❌ 分母は無負荷電圧 → ✅ 分母は定格二次電圧

定義式の分母を V20 にしてしまうミスです。値は近いので答えも近くなり、選択肢によっては引っかかります。「基準は名乗っている値＝定格」と決め打ちしてください。

❌ %R に sin、%X に cos → ✅ %R に cos、%X に sin

組み合わせを逆にすると、力率が悪い問題で大きくずれます。抵抗は電流と同じ向きだから cos と、理屈で結び付けておくのが最も確実です。丸暗記だと本番の緊張で入れ替わります。

過去問ではこう出た

この単元は、令和3年 問9で出題されています。

出題のされ方には傾向があります。%R がそのまま与えられることは少なく、定格容量と銅損を与えて「%Rを自分で作らせる」構成が定番です。つまり、この記事のステップ4が解けるかどうかが得点の分かれ目になります。

また、問題文に「三相変圧器」と書かれていても、計算そのものは単相と変わりません。ここで手が止まらないよう、「同じ土俵の値どうしの比に√3は不要」という一点だけを本番に持ち込んでください。力率が与えられていれば近似式、力率1なら ε ≒ %R と、条件を見て式を選ぶ判断も一緒に練習しておくと安定します。

電験ジムで実際に解いてみる

よくある質問

Q. 定義式と近似式、どちらを使えばいいのですか？

問題文で与えられているもので決まります。無負荷電圧と定格電圧という「電圧そのもの」が与えられていれば定義式、%Rや%X、あるいは銅損と容量が与えられていれば近似式です。両方の道を試す必要はなく、材料を見れば一本に決まります。迷ったら「何が与えられているか」を先に書き出してください。

Q. 近似式の「近似」とは、どこを省略しているのですか？

厳密な計算では、電圧のベクトルを合成したあとに大きさを取り直す必要があり、そこに二乗の項が残ります。ただし %R や %X は数％程度と小さいため、その二乗はさらに小さくなり、実用上は無視できます。その省略が「近似」の中身です。電験三種のレベルでは、近似式で答えが合うように問題が作られていますので、安心して使って構いません。

Q. 電圧変動率と、変圧器の効率は関係がありますか？

直接の公式では結び付いていませんが、共通の登場人物として銅損がいます。銅損は効率計算の主役であり、同時に %R の材料でもあります。つまり「巻線抵抗が大きい変圧器」は、効率も落ちるし電圧変動率も大きくなる。別々に暗記するより、「銅損という同じ犯人を、効率の目線と電圧の目線から見ている」と捉えると、両方まとめて理解できます。