直流電動機のトルクと出力｜ωT＝EaIa『最強の等式』で機械が解ける

この記事で身につくこと

電験三種「機械」科目の中でも、直流電動機の トルクT と 出力Po はド定番の出題ポイント。 しかし「T = pZΦIa/(2πa)」のような長い公式を丸暗記しようとして、9割の受験生がここで挫折します。

本質は拍子抜けするほどシンプルで、覚えるのは たった2行 だけです。

本記事を読み終えたら、

• トルクTが何に比例するかを即答できる
• 出力Poを「機械式」「電気式」の両面から書ける
• 計算問題で「どの式を使えば一発か」が分かる

ようになります。

暗記フレーズ：トルク＝Ia比例／出力＝ωT＝EaIa

トルクは電機子電流Iaに比例、出力は ωT ＝ EaIa

直流電動機のすべてが、この2行に詰まっています。 試験会場でこれだけ思い出せれば、与えられた条件（回転数なのか、電圧電流なのか）に合わせて、自由自在に式を組み立て直せます。

直流電動機を支配する2つの主役

直流電動機の挙動は、次の2つの量で決まります。

主役	意味	単位
トルク T	どれだけ回す力があるか	[N·m]
出力 Po	どれだけ仕事をするか	[W]

トルクは「力」、出力は「仕事率（力 × スピード）」。 この役割の違いをまず押さえてください。両者は別物ですが、後で見るように 1本の等式できれいにつながります。

トルクは「電流 → 磁束 → 回す力」の連鎖で生まれる

電動機がトルクを発生させるプロセスは、次の3ステップ。

1. 電流が増える：電機子電流 Ia をモーター内部に多く流し込む
2. 磁束が増える：電流で磁界が起こり、内部の磁束 Φ が強くなる
3. 軸を回す力が増える：結果として、軸を回すトルク T が大きくなる

トルクを生む源泉は、結局のところ 電気の量（電機子電流Ia）に直結 しています。

この感覚さえあれば、次の公式も自然に頭に入ります。

トルクの公式を要素に分解する

教科書に出てくるトルクの公式はこれ。

T = (p・Z) / (2π・a) ・ Φ・Ia

文字だらけで一瞬ひるみますが、前半の (p・Z)/(2π・a) はモーター構造で決まる定数 にすぎません。これを K₂ とまとめてしまえば、

T = K₂ ・ Φ ・ Ia

たったこれだけ。本質は 「トルクは磁束Φと電機子電流Iaの積に比例」 という、極めてシンプルな関係です。

【最重要】トルクは電機子電流Iaに完全比例

磁束Φが一定なら、

電機子電流Iaが2倍 → トルクTも2倍

という、ストレートな比例関係になります。

• トルクTは電機子電流 Ia に比例する
• 磁束 Φ が大きいほど、トルクも大きくなる

電験三種では「電流が2倍になればトルクはどうなるか？」のように 比例関係そのもの を問う問題が頻出。 計算スピードよりも、Iaを変えるとTが釣り合って動く という天秤のイメージで押さえるのが勝負どころです。

出力Poは「力 × スピード」で決まる

ここから出力Poの話。中学物理に戻ったつもりで、

出力 ＝ 力 × スピード

を思い出してください。直流電動機では、

• 力＝トルク T
• スピード＝回転数 N（または角速度 ω）

つまり、「どれだけの力Tで、どれだけの速さで回し続けたか」、その積が出力＝仕事率になります。 トルクが強くても回転が止まっていれば仕事はゼロ、回っていてもトルクがなければ仕事はゼロ、というのが直感的にしっくりくるはずです。

出力を求める2つのアプローチ

ここが本記事の核心。出力Poは、まったく違う2つの式で表せます。

① 機械式アプローチ：Po ＝ ωT

機械的に見ると、出力は 角速度ω × トルクT。

Po = ω・T
ω  = 2π・N / 60   （Nは1分あたりの回転数 [min⁻¹]）

∴ Po = 2π・(N/60)・T

ωは「1秒間に何ラジアン回るか」を表す角速度。回転数N[min⁻¹]をラジアン毎秒に直すために 2π/60 を掛けています。

② 電気式アプローチ：Po ＝ EaIa

電気的に見ると、出力は 逆起電力Ea × 電機子電流Ia。

Po = Ea ・ Ia

これは「電圧 × 電流 ＝ 電力」という、電気の基本式そのまま。等価回路上で見れば、電源から電動機内部に押し込まれた電力が、そのまま機械的な仕事に変わったものを表しています。

最強の等式：ωT ＝ EaIa

機械式と電気式は、当然 同じ出力Po を表しています。だから等号で結べる。

Po ＝ ωT ＝ 2π(N/60)・T ＝ Ea・Ia

この ωT ＝ EaIa こそが、機械式アプローチと電気式アプローチをつなぐ 最強の等式 です。

直流電動機の問題では、与えられる条件がバラバラです。

• 回転数Nとトルクが分かっている → 機械式（ωT）で立式
• 電圧Eaと電機子電流Iaが分かっている → 電気式（EaIa）で立式
• 片方しか分からない・両方混在 → ωT ＝ EaIa で橋渡し

この「条件に応じて式を繋ぎ変える」発想こそが、機械科目の合格ラインを越えるカギです。

各パラメータの関係性・総まとめ

スクショ推奨の関係表です。

量	意味	公式	深く関わる変数
トルク T	どれだけ回す力か	T ＝ K₂・Φ・Ia	電機子電流 Ia、磁束 Φ
出力 Po	どれだけ仕事をするか	Po ＝ ωT ＝ EaIa	回転数 N（ω）、トルク T、電圧 Ea、電流 Ia

電機子電流Iaと回転数N の動きを追えば、直流電動機の全体挙動が見えてきます。 Iaを変えればトルクが動き、トルクと回転数が動けば出力が動く。すべての変数が 1本のチェーン でつながっているイメージです。

まとめ

• 直流電動機の2大主役は トルクT と 出力Po
• トルクは電機子電流Iaに比例（T ＝ K₂・Φ・Ia）
• 出力は力×スピード（Po ＝ ωT ＝ EaIa）
• 機械式（ωT）と電気式（EaIa）を 自在に繋ぎ変える のが合格のカギ

暗記フレーズ：トルク＝Ia比例／出力＝ωT＝EaIa

複雑な計算問題に出会っても、まずはこの基本関係に立ち返れば、必ず解法の糸口が見つかります。